Результаты исследования и их обсуждение (Research Results and Discussion). Рассмотрим два примера решения комбинаторных задач в рамках системы Wise Tasks Combinatirics.

Пример 1. Построение протокола решения задачи студентом. Задача построена в редакторе «задачи на колоде карт».

«Из колоды в 36 карт вытаскивают 6 карт. Найти количество наборов, в которых количество красных карт равно 3, количество валетов равно 2, а количество дам равно 1».

В процессе взаимодействия студента с системой, был автоматически сгенерирован следующий прокол решения:

Этот протокол неявно показывает, что студент пользовался системой без использования искусственного интеллекта и последовательно уточнял свое решение. Обоснованием этому служат следующие факты:

Студент привел дополнительные комментарии к решению задачи, о том, как он рассуждал при решении задачи.

Можно заметить, что итоговый ответ (введенный в 19:21) достаточно длинен и получен удвоением предыдущей записи (введенной в 19:19). С точки зрения записи итогового ответа -это странно. В то же время, такая запись соответствует определенному ходу рассуждений студента.

Для того, чтобы проверить, смог бы ИИ поддержать ход собственных рассуждений студента, искусственному интеллекту, в качестве которого выступал DeepSeek, было предложено проанализировать ход решения и объяснить происхождение ошибок. DeepSeek правильно интерпретировал первую ошибку, однако не смог разобраться в следующих версиях ответа, и итоговая фраза анализа была такая; студент «просто продублировал сумму из третьей попытки дважды (опечатка ввода? но система сказала «ответ верен» - значит, возможно, сумма после упрощения совпала с правильным ответом)».

В то же время рассуждения студенты были иными. Он рассмотрел три случая, связанные с распределением красных карт, а затем воспользовался принципом симметрии, заменив красные карты черными и наоборот. Вот цитата из комментария студента: «19:19 - 19:21 Заметим, что случаи 4-6 «зеркальным» случаям 1-3, поэтому они равны сумме 1-3. Окончательный ответ:

Предложенное системой ИИ решение предполагало другой способ разбиения общего множества комбинаций на подмножества. Таким образом, этот пример показывает, что использование ИИ аналогично использованию «решебника», в котором представлены определенные способы решения задачи, ограничивающие самостоятельную деятельность обучаемого.

Ещё более выпукло это видно из следующей задачи, которую преподаватель предложил решить нескольким студентам. Некоторые из них решали бесконтрольно (и как было видно из представленного решения, использовали ИИ), другие решали под строгим контролем преподавателя м их решения кардинально отличались от предложенных ИИ. Ниже будет подробно проанализировано решение этой задачи с частичным использованием ИИ студентом.

Пример 2. Построение студентом «псевдопротокола» - итогового описания решения задачи, без анализа своих «догадок».

В этом эксперименте студент около 40 минут решал задачу под контролем преподавателя. Потом ему было предложено оформить протокол решения, зафиксировав свои догадки, проверки их в системе и допущенные ошибки. Вместо этого студент представил запись решения задачи без фиксации своих гипотез, проверки промежуточных ответов, анализа ошибок. Ниже будут представленные количественные данные по эксперименту, из которых будет ясно, что именно так большинство студентов понимает понятие протокола.

В этом эксперименте важным результатом является то, что искусственный интеллект вступил в «методическую конфронтацию» с подходом, который реализовывал преподаватель курса. Преподаватель главное внимание уделил формированию общих комбинаторных умений по построению взаимно-однозначных соответствий в противовес выводу и запоминанию общих формул, которые предлагались в решении ИИ.

Задача. «Найти количество пятизначных чисел в десятичной системе счисления, у которых первая цифра больше суммы всех остальных».

Для того, чтобы понять разницу между решением, которое преподаватель считает красивым, решением, которое предлагает ИИ, и решением, которое привел студент, обратившийся (по косвенным данным) к ИИ, ниже приведены все три решения с комментариями автора статьи.

Анализ решения, предложенное ИИ. Искусственный интеллект для решения этой задачи начинает с общей формулы для количества чисел в десятичной системе счисления с заданной суммой. Затем обращает внимание на то, что из-за того, что сумма четырех цифр в задаче задается однозначным число (8 или меньше). Ограничения можно не учитывать. Затем по этой формуле вычисляется количество четырехзначных чисел с суммами меньше заданного k: 

Затем говорится, что по «известной формуле» эта сумма равна .

Далее считается уже сумма полученных сочетаний по той же формуле и получается .

Заметим, что «двойное» использование формулы для суммирования формулы с сочетаниями полностью отрывает мысль студентов от исходной интерпретации задачи. Такой методический путь оправдан, если работа с подобными формулами является конечной целью и для повышения эффективности выполнения действий нужно абстрагироваться от её смысла. Однако для студентов технических вузов сами по себе формулы не играют большого значения, зато большее значение играет умение формализовать задачу и видеть за формальным решением действия в исходной интерпретации объектов задачи. Использование искусственного интеллекта толкает студента на сведение задачи к некоторым формализмам, которые предлагаются без интерпретации. Фактически реализуется методическая схема: взять формулу и конкретизировать её под задачу. Такой путь подталкивания под общую схему реализовывался на заре развития электронных задачников в 80-х годах прошлого века (Nievergel, 1980). Пользователя с помощью промежуточных вопросов-заданий вели к конкретной формуле, к одному, выбранному автором электронного средства маршруту, даже если в решении были ветвления, путь решения был задан заранее.

Анализ решения, предложенного студентом. На рис. приведен скан решения, которое студент сдал вместо протокола решения (Приложение). В левом верхнем углу проведена формализация задания. В центральной части приведена неочевидная формула, которая записана в принятых на Западе обозначениях числа сочетаний, что говорит о том, что студент использовал искусственный интеллект. Эта формула связала представления студента о числах сочетаний с представлением в системе ИИ, так как в центре можно увидеть другое обозначение числа сочетаний, принятое в отечественной литературе. Факториальная формула для числа сочетаний в разных обозначениях стала для студента мостиком, чтобы связать готовую формулу, предложенную ИИ, с его представлениями у студента. В то же время использование готовой формулы решения подзадачи («сколько четырехзначных наборов имеют сумму S») вместо понимания смысла этой формулы стало причиной того, что студент не использует её повторно и переходит к понятным ему вычислениям факториальных выражений, которые суммирует вручную (эти вычисления занимают нижнюю левую четверть листа). Сравнивая этот «псевдопротокол» с приведенным протоколом другого студента (приведен выше в примере 1), можно видеть, что данный студент (как и большинство) не умеет следить за своими рассуждениями и поэтому не может описать соображения, которые привели его к использованной формуле. Не понимая пути вывода формулы, он не может применить его повторно, чтобы все решение задачи заняло буквально «две строчки». Именно так и предлагает её решать ИИ, но студент видимо не смог понять всего решения ИИ и использовал его решение частично.

Анализ решения, предложенного преподавателем. Для сравнения приведем решение задачи преподавателем, читавшим курс по комбинаторике.

Пример 3. Найдем взаимно-однозначное соответствие между наборами, описанными в задаче, и бинарными наборами из 13 переменных, в которых 5 единиц, а остальные цифры – в книге Н.Я. Виленкина (Виленкин, 1969: 46) нули - это взаимно-однозначное соответствие вводится в интерпретации «покупка пирожных» (в терминах пирожных нули - это пирожные, стоящие слева - пирожные первого вида, между k-ой и k+1 единицей − пирожные k+1 вида)).

Например, числу 61201 соответствует набор 0100010100110. Количество нулей до первой единицы показывает превышение разности между первой цифрой и суммой остальных над 1 (минимальная разность). Они не влияют на восстановление цифр числа. Количество нулей между первой и второй единицами показывает разность между максимальным значением первой цифры (9) и её значением в данной комбинации. В данном случае то 6=9-3. Остальные числа нулей между соседними единицами - суть записи остальных цифр в единичной системе счисления: 1201. Обратно, если число 93211, его код будет 0110001001010.

Более формально. Пусть пятизначный набор имеет вид abcde, введем дополнительную переменную f следующим образом: a-(b+c+d+e)-1=f

Построим двоичный набор f | 9-a | b | c | d | e - набор из нулей и единиц (разделители соответствуют единицам, алгебраические выражения между ними - суть количества нулей). Он будет соответствовать пятизначному числу, у которого первая цифра больше суммы остальных. Число таких наборов .

Приведённые выше примеры относятся к классу типовых комбинаторных задач, которые успешно решаются как с помощью ИИ, так и традиционными методами. Однако для проверки гипотезы о том, что граничным объектом становится именно система, включённая в педагогическое сопровождение, необходимо рассмотреть задачи, которые не сводятся к простому применению формул и требуют многошаговых рассуждений, построения неочевидных соответствий или использования комбинаторных принципов в нестандартной обстановке.

Пример 4. Задача на принцип включения-исключения с перекрываю­щимися условиями.

«Сколько существует перестановок чисел от 1 до 12, в которых ни одна из следующих пар не стоит рядом в порядке возрастания: (1,2), (2,3), (3,4), …, (11,12)?»

Классическое решение требует применения формулы включения-исключения с учётом того, что запрещённые пары могут перекрываться (например, запрещены одновременно пары (1,2) и (2,3) – что фактически создаёт блок «1-2-3»). Студенты, работавшие с ИИ без контроля, как правило, получали формальный ответ через сумму по всем подмножествам пар, не осознавая, что для пересекающихся пар количество «склеенных» объектов зависит от наличия цепочек. Напротив, студенты, решавшие задачу под наблюдением преподавателя с обязательным протоколированием гипотез, последовательно вводили промежуточные ответы для малых n (от 3 до 6), выявляли закономерность в коэффициентах и только затем переходили к общей формуле. Протокол одного из студентов зафиксировал шесть попыток, включая ошибочное предположение о независимости пар, и итоговый комментарий: «Оказывается, если пары пересекаются, то блоки удлиняются, и количество «склеенных» элементов считается как число компонентов в графе смежности пар». Здесь система Wise Tasks Combinatorics выступала не как вычислитель, а как верификатор промежуточных гипотез - студент вручную задавал формулу для n=4, получал подтверждение или опровержение, корректировал рассуждение.

Пример 5. Задача на построение взаимно-однозначного соответствия с нечисловыми объектами.

«Сколькими способами можно замостить прямоугольник 2×10 доминошками 1×2 и 2×2, если последняя клетка в правом верхнем углу всегда должна быть покрыта вертикальной доминошкой?»

Данная задача выходит за рамки стандартных комбинаторных формул и требует либо рекуррентного подхода (вывод соотношений для полос разной длины), либо построения биекции с последовательностями Фибоначчи с ограничениями. Студенты, использовавшие ИИ, получали либо общее рекуррентное соотношение без учёта последнего условия, либо фиксировали неправильные начальные члены. В то же время при работе в системе с педагогическим сопровождением преподаватель предлагал модифицировать редактор задач «на плитки» так, чтобы система автоматически перебирала малые размеры (2×1, 2×2, 2×3) и позволяла проверять гипотезы о рекурренте. Один из студентов записал в протоколе: «Я подумал, что для 2×n количество способов с ограничением на правый верх можно выразить через количество способов для 2×(n-1) и 2×(n-2), но первые пять проверок в Wise Task Combinatorics показали, что коэффициенты другие - пришлось рисовать раскладки руками и искать биекцию с числами, где запрещены две единицы подряд». Именно в процессе многократных проверок и рефлексии рождалось понимание, недоступное при простом копировании ответа от ИИ.

Сравнение решений. Мы видим принципиальное различие между подходом ИИ (подгонка под готовую формулу) и более красивым решением на основе построения взаимно-однозначного соответствия. Студент, контроль над работой которого был прерван, представил решение, частично сделанное ИИ, и добавил вычислительную часть, которую осмыслил – последовательное вычисление количества наборов с заданной суммой. Заметим, что в аналогичной ситуации студенты, работавшие под контролем преподавателя, не смогли дойти до общей формулы, однако ощутили её потребность вследствие видимых закономерностей в построении арифметических выражений при подсчете числа комбинаций.

В итоге мы видим два разных подхода к целям курса комбинаторики (табл.):

Описание и результаты эксперимента. Эксперимент состоял из трех этапов, первые, два из которых проводились в дистанционном формате, а последний в очном.

На первом этапе студентам предлагалось решить несколько уже составленных задач, после чего составить две задачи самостоятельно, стремясь сделать их как можно более трудными и запротоколировать работу с ними, используя возможности среды и делая необходимые рисунки, схемы и вычисления на бумаге. Также предлагалось делать засечки времени выполнения тех или иных этапов и фиксировать гипотетические ответы (заметим сразу, что последнего условия практически никто не выполнил до тех пор, пока это требование не было выведено на первый план − эта часть отнесена ко второму этапу).

В этом этапе было задействовано около 100 участников. На работу было отведено 3 недели.

На втором этапе тем участникам, которые не выполнили полностью условия представления протоколов работы были даны устные и письменные рекомендации по их исправлению, и просьба составить ещё одну - сложную - задачу и представить протокол решения.

В этом этапе было задействовано около 50 участников. На работу было отведено 2 недели.

На третьем этапе нескольким студентам было предложено решить поставленные преподавателем задачи средней сложности под наблюдением преподавателя. На этом этапе было задействовано около 10 человек.

Результаты первого этапа. 90% студентов не пытались создавать трудные задачи. Составленные задачи по структуре были аналогичны задачам, которые они выбрали для решения из предложенного задачника.

Студенты либо не пользовались системой для проверки ответа, либо не протоколировали неудачные попытки решения задачи. В качестве протокола представлялся только готовый ответ и результат проверки его системой, таким образом получалось, что задача решалась как бы за минуту.

Причины такого поведения обсуждались со студентами, которые, казалось, не понимали, что преподавателей интересует процесс решения, а не результат. Студенты, которые представили протоколы, объясняли отсутствие их у других тем, что в среде современной молодежи считается, что демонстрация ошибок дискредитирует их, понижает степень самоуважения.

Таким образом, на этом этапе было показано, что подобное использование системы не является способом инициирования самостоятельной и исследовательской деятельности, а является просто формой предъявления учебных задач.

Со своей стороны, мы считаем, что такое поведение является следствием сложившейся практики подготовки к ЕГЭ, когда учеников «натаскивают» на решение задач определенного типа, и для них самостоятельная постановка задачи, формулирование подзадач, проведение исследования перестают быть понятной ценностью в изучении математики.

Результаты второго этапа. Перед вторым этапом студентам было объяснено, что в современных условиях, когда решение задач может быть выполнено математическими компьютерными решателями или ИИ, для преподавателя важен весь ход решения.

На втором этапе длина протоколов увеличилась, появились протоколы с двумя и более попытками, среднее время решения увеличилось до 15-20 минут. Появились трудные, но не сложные задачи (сложная задача (complicated) отличается от трудной (difficult) тем, что трудная задача понятна, но требует много-много шагов, а сложная требует осмысления. «Под сложностью задачи будем понимать объективную характеристику, которая определяется объемом предметных знаний, достаточных для ее решения. В свою очередь под трудностью задачи будем понимать субъективную характеристику, которая может быть получена путем сопоставления знаний, достаточных для решения задачи, со знаниями, имеющимися у обучающегося» (Наумов, Выхованец, 2014: 100).

Некоторые студенты последовали совету преподавателя составлять задачи, не имея в начале идеи их решения, а используя набор ограничений, который доступен в специальном (упрощенном) редакторе генерации задачи. Задачи при этом получались трудными, но не сложными, то есть, требовали классификации комбинаций и скрупулезного подсчета комбинаций в каждой группе. Однако студенты не стремились найти более красивые решения, позволяющие свернуть трудоемкие вычисления посредством другого взгляда на подсчет числа комбинаций. При этом некоторые приемы получения более эффективных решений показывались на лекциях и содержались в домашних заданиях. Это говорит о том, что получение красивых решений является отдельной задачей и, если она не является целью, которую надо достичь в работе, то игнорируется в пользу более трудоемких, но требующих меньших интеллектуальных усилий решений. Можно этот результат сформулировать так: студенты выбирают стратегии с меньшей ожидаемой дисперсией времени решения – нахождение красивого решения может существенно упростить запись решения, но по времени его трудно оценить или оно может вообще не найтись. Таким образом, студентам нужен “оракул”, сообщающий, что такое решение есть. Возможно, что развитие автоматических решателей позволит добавить такой инструмент к системе.

Результаты третьего этапа. На третьем этапе студенты решали в системе Wise Tasks Combinatorics задачи, составленные преподавателем. Задачи содержали небольшой элемент новизны по сравнению с задачами, которые были разобраны на лекциях и практике. Среднее время решения было больше часа. Число попыток проверки гипотетического ответа возросло до 5-7. Таким образом, цель, поставленная изначально – использование среды для поддержки поисково-исследовательской деятельности была достигнута только когда работа курировалась преподавателем, хотя непосредственного участия, кроме как в постановке задачи, преподаватель не предпринимал.

Это говорит о том, что один и тот же педагогический инструмент работает по-разному в зависимости от ситуации использования. На первом этапе взаимодействие осуществлялось в контексте «сдать работу», во втором «сдать отчет по работе», в третьем «продемонстрировать процесс решения задачи», несмотря на то что формально последний контекст являлся общим для всех этапов, однако реализовался он только в присутствии преподавателя рядом со студентом.

Необычное поведение студентов, выявленное в эксперименте. Система позволяла студентам вводить арифметические выражения, все вычисления с числами осуществлялись автоматически. Тем не менее, студенты обычно делали вычисления на калькуляторе или даже писали программу для вычислений.

Некоторые студенты после ввода численного ответа вводили формулу, выраженную через комбинаторные функции и арифметические операции, и рассматривали это как проверку, хотя система до этого уже подтверждала правильность ответа. Это можно интерпретировать как то, что массовое использование калькуляторов в течение последних 50 лет привело к тому, что многими студентами рассматривается как неотъемлемая часть их процесса мышления.

Перечислим ситуации, когда среда Wise Task Combinatorics может служить граничным объектом для организации общения между студентами и преподавателями при изучении комбинаторики:

1. студенты по заданиям преподавателя могут развивать среду, создавая новые специальные редакторы для классов комбинаторных задач. Примеры созданных студентами редакторов «Редактор задач на шахматной доске», «Редактор задач с ожерельями», «Редактор задач на раскраску многогранников»;
2. студенты по советам преподавателя могут создавать комбинаторные задачи, которые не могут быть получены путем комбинации условий генераторов специальных задач, но допускают описание на универсальном языке с помощью редактора разметки текста (xml-формат задачи);
3. студенты могут создавать новые задачи с помощью специальных редакторов и решать их самостоятельно, но с обязательным ведением протоколов работы;
4. студенты могут решать задачи из специального редактора под контролем преподавателя.

Как показала практика только 1% студентов готов к первому типу использования среды для взаимодействия с преподавателем и около 5-6% - ко второму типу. Остальные два типа доступны всем студентам.

Около 10-20% студентов расположены к третьему типу использованию среды, что можно заметить по превышению числа решенных задач по сравнению с тем, сколько предложено преподавателем.

Интерес к составлению проявляют от 5 до 10%, что проявляется в интересных формулировках, хотя сама среда генерирует текстовые формулировки без изящных словесных конструкций.

Представляет интерес, что около 10-20% студентов (эксперимент проводился со студентами компьютерных специальностей) читают текст задач в xml-формате, сгенерированный программой для технических целей, и делают исправления непосредственно в нем. Этот эффект не предполагался создателями системы (однако принцип открытости кода программы и формата данных предполагался) и показывает изменения в информационной среде обучения, когда студенты готовы к тому, что формулировки задач представляются в более формализованном и доступном автоматической обработке виде. Этот факт подтверждает возможность использования среды как граничного объекта.

В работе С. Стар (Star, 2010: 615), в которой анализируется эволюция понятия «граничный объект», приводится схема, показывающая цикл существования и преобразования конкретного граничного объекта 1=>2=>3=>1.

1. Появление в общем информационном пространстве граничного объекта.
2. Попытки стандартизации граничного объекта, иногда приводящие к стандартизированному объекту или системе.
3. Формирование остаточных категорий, не подпадающих под стандартизацию и как следствие (переход к пункту 1) формирование новых пограничных объектов.

Заметим, что здесь описание цикла несколько упрощено, чтобы не использовать те его особенности, которые в нашей ситуации не имеют места.

Дадим интерпретацию этого цикла для нашей работы.

1. Концепция самопроверяемых задач, реализованная в системе Wise Tasks Combinatorics, в совокупности с регламентом работы, протоколами рефлексии о процессе поиска решения и контролем преподавателя образуют граничный объект. Он содержит в себе такие жесткие элементы, как сама система, требования к организации работы с системой, наличием всех перечисленных компонент.

Гибкими элементами являются задачи, составленные студентами, способ их решения, сопутствующие протоколу комментарии (рефлексия), поведение преподавателя и определение роли этого граничного объекта в учебном процессе.

1. Попытки «стандартизации» могут осуществляться студентом, когда он вместо самостоятельного решения использует ИИ, отказывается от протокола с рефлексией, заменяя его описанием результирующего решения. Также такие попытки могут осуществляться со стороны преподавателя, когда он предлагает дома самостоятельно решать задачи в системе, не инициирует студентов к составлению нестандартных задач, не требует протоколов с описанием поисков решения, ошибочных гипотез и анализа ошибок. Термин «стандартизация» здесь надо понимать как стремление как студентов, таки преподавателей использовать привычные стратегии учения и обучения.
2. Остаточными категориями можно считать ситуации, в которых предложенный граничный объект не привел к передачи смыслового содержания, не был посредником формирования комбинаторного мышления. Это могло быть связано как с нарушениями «стандартизации», так и с тем, что студент или преподаватель не является членом «практикующего» сообщества, в котором описанный выше учебный объект является граничным. Для студента это означает, что он не стремится овладеть комбинаторным мышлением, не желает менять стратегию избегания сложных задач. Для преподавателя – что он придерживается иной парадигмы обучения (например, «наполнение» студента знаниями).
3. Формирование граничного объекта для «остаточных категорий» может в нашей ситуации означать, что преподаватель и студент нашли консенсус в рамках стратегии взаимодействия, при которой студент как-то выполняет задания (например, с использованием ИИ), а преподаватель проверяет ответы. С точки зрения поставленных в статье целей – это «холостой» ход образовательного механизма, когда внешние правила соблюдается, однако цели обучения не достигаются.

Таким образом, преобразование учебного объекта в граничный не обязательно свидетельствует о высокой эффективности получившегося объекта. Граничные объекты характеризуют социальные свойства учебного процесса и среду, которая создана преподавателем либо сформирована общими требованиями к организации обучения. Если эта среда направлена на формирование интеллекта обучаемых, на передачу смыслов, эффект понимания «Ага!» у студентов (Moroshkina, Savina, Ammalainen, Gershkovich, Zverev, Lvova, 2022), граничные объекты будут играть позитивную роль в передаче предметных смыслов. Если эта среда характеризуется излишним вниманием к таким «результатам» обучения как «закрыл долг», «получил положительную оценку», «сдал экзамен», то есть направлена не на содержательные, а на организационные стороны учебного процесса, граничные объекты будут отражать не содержание учебного материала, а особенности взаимодействия студента с преподавателем или учебным заведением.

Разработка системы Wise Tasks Combinatorics происходила до того, как появились доступные всем средства генеративного ИИ, которые позволяют быстро находить и компоновать решения распространенных типов задач. К таким задачам относятся и комбинаторные задачи. ИИ может решать такие задачи. Решение при этом начинается с общих формул и получается постепенной специализацией значений. В то же время, система создавалась с иной целью - инициировать решение задач с тем, чтобы постепенно осознать потребность разработки общих методов и прийти к ним самостоятельно или под руководством преподавателя. Поэтому решения, которые предлагали недобросовестные студенты, пользовавшиеся ИИ, отличались от тех, которые предлагали студенты, решавшие задачи сами. Это говорит о необходимости рассматривать систему в рамках конструируемого информационного пространства.

Оппоненты могут возразить, что какими бы ни были интеллектуальные конструкции, в какой-то момент они будут формализованы и станут частью ИИ. Однако, как только граничные объекты превращаются в жесткие конструкции, формализованные в той или иной форме, они теряют свойства граничного объекта. Например, если описанную в статье работу с системой Wise Tasks Combinatorics и сопровождаемую рефлексией студента о его попытках решить задачу заменить лабораторной работой с заданным регламентом и примерами «правильного» выполнения, она перестанет работать граничным объектам. Студенты уже не будут приспосабливать собственные приемы мышления к решению задачи, а воспользуются готовым образцами для решения задачи.

Если окажется, что средства ИИ разовьются настолько, что предложенная выше методическая схема использования системы Wise Tasks Combinatorics объективно не сможет играть роль посредника в формировании комбинаторного мышления в рамках нового информационного пространства, потребность в таких граничных объектах не исчезнет и как представлено в цикле существования граничного объекта, он будет заменяться другим.

Несмотря на выявленные ограничения ИИ при имитации решений и подмене исследовательской деятельности, было бы ошибочным видеть в нём только угрозу. При правильном методическом включении генеративные модели могут стать полноценным элементом граничного объекта - не заменяя преподавателя, но расширяя возможности учащихся и учителя. Во-первых, ИИ способен генерировать новые комбинаторные задачи с заданными характеристиками: варьируя тип ограничений, число объектов, наличие симметрий или избыточных условий. Например, по запросу «создай пять задач на принцип Дирихле для чисел от 10 до 100» система предлагает вариативные формулировки, которые преподаватель может отбирать, адаптировать или поручать студентам для критического анализа. Во-вторых, ИИ может выполнять первичный анализ протоколов решений (особенно в дистанционном формате), выделяя типовые ошибочные паттерны - неверное применение формулы включения-исключения, смешение упорядоченных и неупорядоченных выборок, игнорирование граничных условий. Это позволяет преподавателю сосредоточиться на глубинном разборе, а не на рутинной проверке. Важнейшее условие: все такие подсказки и сгенерированные задачи должны проходить через преподавателя и включаться в рефлексивный протокол студента. Только тогда ИИ становится не «чёрным ящиком» и не суррогатом мышления, а ещё одним участником общего информационного пространства, поддерживающим тот же цикл граничного объекта: постановка → попытка → ошибка → новая интерпретация. В этом смысле будущее развитие систем типа Wise Tasks Combinatorics видится в интеграции с LLM не как встроенного решателя, а как генератора учебных ситуаций и «методического собеседника», чьи предложения студент обязан проверить, прокомментировать и включить в свой протокол.

Заключение (Conclusions). Cреда Wise Tasks Combinatorics представлена в новой роли – как составляющая граничного объекта общего информационного пространства, построенного в рамках курса «Комбинаторика и теория графов» в различных ролях – как задачник по комбинаторике, как среда для составления задач по комбинаторике посредством комбинирования различных ограничений, как язык описания комбинаторных задач более широкого класса, как инструмент проверки гипотез. При этом в информационное пространство были включены такие субъекты, как студент, преподаватель и искусственный интеллект. На примере обсуждения различных подходов студентов к решению одной задачи была продемонстрирована роль граничных объектов. Решая одну задачу, был затронут весь спектр идей комбинаторики, вынесенных в курс. Однако этого не происходило, если оставить студента один-на-один с задачей или с задачей и ИИ. Задача становилась граничным объектом только при участии квалифицированного преподавателя.

Комбинаторные задачи могут рассматриваться и как предмет изучения, и как инструмент формирования общих приемов мышления. В первом случае студентов надо научить сводить задачи к алгебраическим конструкциям, таким как производящие функции. Во втором надо учить пользоваться различными интерпретациями и приемами построения взаимно-однозначных соответствий.

На примере использования среды Wise Tasks Combinatorics показано, что учебный объект в современных условиях может стать граничным объектом (то есть средством передачи смыслов) только если он сопровождается анализом умственных действий студента. Это та особенность, которая отличает понятие граничного объекта от использования его как учебного объекта в системе образования. Эта особенность стала существенный со времен массового распространения систем ИИ.

Компьютерные системы, используемые в образовании, можно условно разделить на два больших класса: обучающие и инструментальные. Первые претендуют на последовательное методичное изложение материала с промежуточным тестированием и подсказками. Теперь функции этих систем полностью покрывается системами ИИ (может быть с небольшим уточнением, что высказывание относится не к специальным, а общим знаниям, многократно отраженным в литературе и методических пособиях). В то же время, роль инструментальных средств при правильном использовании была иная - расширить пространство представлений (математического) материала. В этом качестве они успешно могут использоваться и в условиях существования ИИ, если в состав учебного объекта вместе с этим инструментом войдет самоанализ решения учебной задачи обучаемым в присутствии преподавателя. В такой комбинации они превратятся из ЦОР в граничный объект. Системы ИИ нельзя считать граничными объектами, так как они не столько поддерживают собственное развитие идеи, сколько ведут пользователя по готовому пути.